LAS MATES DE SANDRA: abril 2021

martes, 27 de abril de 2021

lunes, 19 de abril de 2021

MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y ESTUDIO DE LOS EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

IMAGEN O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN

FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN

Una función puede venir definida de diferentes formas:

- A partir de un gráfico:

Visualizamos el comportamiento de una función con su representación gráfica.

1.- Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:

- La x sobre el eje horizontal (eje de abcisas).

- La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).

2.- Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abcisa x y su ordenada y.

3.- El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definición de la función. Y el conjunto de los valores de y que toma la función se llama recorrido (imagen)

4.- Los ejes deben estar graduados en sendas escalas, de modo que se puedan cuantificar los valores de las dos variables.

- A partir de una expresión analítica (una fórmula)

Ejemplos:

La expresión analítica tiene 2 grandes ventajas sobre la representación gráfica:

1.- Resulta muy cómodo y breve dar la función de este modo.

2.- Con ella se pueden obtener, con toda precisión, los valores de la función a partir de la variable independiente.

Sin embargo presenta un gran inconveniente: la fórmula en principio nos dice poco sobre el comportamiento de la función. Hay que efectuar cálculos, trabajarla y representarla para ver claro cómo se comporta globalmente y poder extraer información concluyente.

- A partir de una tabla de valores

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Hemos oído hablar mucho de funciones, pero ¿sabemos bien qué son las funciones?.¿y para qué se utilizan?. De esto trataremos este tema y el siguiente.

Veamos algunos ejemplos gráficos de interés:

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:

EJEMPLO 4:

EJEMPLO 5:

EJEMPLO 6:

Definición: Una función f, es una relación entre 2 variables a las que, en general, llamamos x e y.

Es una correspondencia entre elementos de un conjunto inicial de números reales , con elementos de un conjunto final, de números reales (R), de forma que a cada elemento “x”, perteneciente al conjunto inicial, le corresponde un único valor “y”, perteneciente al conjunto final. Al elemento "y" se le llama imagen de "x". Veamos gráficamente la definición:

ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN:

El Dominio de una función es el conjunto formado por todos los números reales pertenecientes al conjunto inicial y la Imagen de f es el subconjunto de números reales que pertenecen al conjunto final en la correspondencia.

El dominio de una función se representan por Df o Dom f, y la imagen como Im f.

EJEMPLO 7: Vamos a determinar los elementos anteriores en algunos de los gráficos de los ejemplos anteriores

1.- Si observamos el ejemplo 2, tenemos los siguientes datos sobre la caída del PIB (Producto interior bruto):

- Variable independiente x: Años

- Variable dependiente y: Porcentaje del valor del PIB

- Dominio de f: [1996 2020] Los años comprendidos desde 1996 a 2020.

- Imagen de f: [-12 5] Abarca desde -12% a 5%

2.- Si observamos el ejemplo 6, tenemos los siguientes datos sobre el número de contagiados por coronavirus durante la tercera ola de la pandemia:

- Variable independiente x: Días

- Variable dependiente y: número de contagiados por día

- Dominio de f: [4 de enero 25 febrero] Los días comprendidos entre el 4 de enero y el 25 de febrero de 2021.

- Imagen de f: [200 925] el número de contagiados varía entre 200 y 925.

EJEMPLO 8:

En este caso tenemos los siguientes elementos:

- En el eje horizontal tenemos la variable independiente, que es el "tiempo" en minutos, t. (x = t)

- En el eje vertical tenemos la variable independiente, que es la "altura" expresada en metros, a.

(y = f(x) = a )

- Dominio: Solo tenemos información del vuelo del helicóptero desde el minuto 0 al 27. Así pues, el intervalo 0-27 sería el dominio de la función. Df = [0 27]

- Imagen o recorrido: la altura a la que se encuentra el helicóptero oscila entre 0 m y 320 m, por lo que Im f = [0 320]

Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos, o simplemente, para expresar relaciones matemáticas:

- La distancia recorrida por un móvil al pasar el tiempo.

- La temperatura del aire al variar la altura.

- El área de un cuadrado al variar su longitud de su lado.

No todas las correspondencias entre conjuntos son funciones. Veamos algunos ejemplos y observemos cuales de ellos son funciones y cuales no:

Los casos (a) y (b) no serían funciones dado que un mismo "x" tendría 2 imágenes "y". Existe al menos un valor del dominio al que se le asignan 2 valores diferentes. En el caso (c) no ocurre esto. A cada valor de x solo le corresponde un único y. Por lo que (c) es función.