OTRAS SUCESIONES ESPECIALES

 Veamos en este apartado algunas de las sucesiones especiales existentes y de gran interés y curiosidad:

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:

EJEMPLO 4:

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. SUMA Y PRODUCTO DE TÉRMINOS

1. DEFINICIÓN 

Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión. 

La razón se obtiene al hacer el cociente entre dos términos consecutivos:

EJEMPLO:

EJEMPLO:  Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ... 

    6/3=2;  12/6 = 2; 24/12 = 2; 48/24 = 2 , por lo que la razón en este caso es: r= 2. 

2.- TÉRMINO GENERAL EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

En una progresión geométrica cada término es igual al anterior por la razón. Observa:

a2 = a1·r ;        a3 = a2·r = a1·r2;       a4=a3·r=a1·r2 =a1·r3 

y siguiendo así sucesivamente, se llega a:

El término general de una progresión geométrica

cuyo primer término es a1 y la razón es r es:

 an =a1·rn−1

EJEMPLO: 

EJEMPLO: Determinar el término general en la sucesión 3, 6, 12, 24, 48, ...

an =3·2n-1 =3·2n ·2-1 =(3/2)·2n 

3.- SUMA DE N TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:

EJEMPLO: Para la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32, determinar la suma de los 6 primeros términos:

EJEMPLO: Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 3, 6, 12, 24, 48, ...

4.- SUMA DE TODOS LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

En las progresiones geométricas podemos dar la suma de todos los términos de la sucesión La suma dependerá del valor de la razón de la sucesión:

- Si r está comprendida entre los valores (- 1   1), es decir, es mayor de -1, y menor que 1, la suma de todos los términos es:

- En caso contrario, la suma es infinita, bien positiva o negativa, según sea el caso.

EJEMPLO: Determina la suma de todos los términos de la sucesión: 16, 8, 4, 2, 1....

EJEMPLO: Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

👉

5.- PRODUCTO DE N TÉRMINOS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

En una progresión geométrica el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de ellos: 

a1·an = a2·an-1= a3·an-2 = ...

A partir de esta propiedad se obtiene que el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

EJEMPLO: Calcular el producto de los primeros 6 términos de la progresión : 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

EJEMPLO: Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ... 

PROGRESIONES ARITMÉTICAS. SUMA DE N TÉRMINOS

DEFINICIÓN

Una progresión aritmética es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión.

• Si d>0 los números cada vez son mayores, se dice que la progresión es creciente.

• Si d<0 los números cada vez son menores, se dice que la progresión es decreciente.

Para obtener la diferencia basta restar dos términos consecutivos. 

EJEMPLO:

TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

En una progresión aritmética cada término es igual al anterior más la diferencia. Observa: 

y siguiendo así sucesivamente, se llega a: 

El término general de una progresión aritmética es:

donde a1 es el primer término y d es la diferencia.

EJEMPLO:

EJEMPLO: 

La sucesión 7, 10, 13, 16, 19, ... es una progresión aritmética porque cada término se obtiene sumando 3 al anterior. Es decir, d = 3. Entonces su término general es:

y de esta forma podemos calcular términos muy elevados en posición sin necesidad de calcular los términos anteriores, por ejemplo:

SUMA DE N TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

En una progresión aritmética finita de n términos, la suma de términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de ellos:

a1+an = a2+an-1= a3+an-2 = ... 

A partir de esta propiedad se obtiene que la suma Sn= a1+a2+.......+an de los n primeros términos de una progresión aritmética es: 

EJEMPLO: 

EJEMPLO: Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, - 12, ...

ACTIVIDADES PRÁCTICAS:

1.- Determina la diferencia de las siguientes progresiones aritméticas: 

    a) 1,4,7,10,13....

    b) 8,6,4,2,0,...

    c) 2,6,10,14,18,....

2.- Escribe el término general de las siguientes progresiones aritméticas: 

    a) 4, 6, 8, 10....

    b) 3, -1, -5, -9...

    c) 5, 8,11, 14,....

3.- Calcular la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética: 2,4,6,8,10,... 

4.- Calcular la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética: 3, 7, 1 1, 1 5, 1 9, . . . 

5.- El primer término de una progresión aritmética de diferencia 5 es 4 y el último término es 499.Halla la suma de todos ellos.

Solución a las actividades:

FORMAS DE DEFINIR UNA SUCESIÓN

Las sucesiones pueden definirse de varias maneras, aunque a veces 2 de ellas son las más comunes:

1.- Regla de formación o ley de recurrencia:

Los términos de algunas sucesiones se pueden determinar siguiendo un criterio denominado regla de formación, que relaciona cada término con el lugar que ocupa. Las dos reglas fundamentales son:

  - Sumar una misma cantidad. 

  - Multiplicar por una misma cantidad. 

En líneas generales, una regla de formación o una ley de recurrencia consiste en determinar cada término a partir de sus términos anteriores. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo: En la sucesión 2, 7, 12, 17, 22, 27 ... cada término es el anterior más 5.

Ejemplo: En la sucesión los múltiplos de 3: 3, 9, 27, 81, 243, 729... cada término es el anterior por 3. 

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

2.- Mediante el término general (una fórmula):

En la mayoría de sucesiones el término general es una expresión algebraica, que nos permite saber cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n. 

Ejemplo:

Sin embargo, no todas las sucesiones existentes en la vida presentan una expresión algebraica para determinar su término general, y deberemos bastarnos con una ley de recurrencia para tenerlas definidas.

Ejemplo: la sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... no tiene término general que pueda expresarse mediante una fórmula.

3.- Determinando su descripción:

En este caso se determinará los términos de la sucesión mediante una descripción de esta. Sin embargo, este criterio no es cómodo para definir todas las sucesiones, por ello se hace uso de los 2 anteriores en la mayoría de los casos.

Ejemplos:

- La sucesión de los números primos: la sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

- La sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12........

- La sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13......

ACTIVIDAD PRÁCTICA:

1.- El primer término de una sucesión es 4, escribe los cuatro primeros términos de ella si: “Cada término es igual al anterior más el lugar que ocupa”

2.- Escribe la regla de formación de la siguiente sucesión: 3, 8, 13, 18,... 

3.- Escribe los cinco primeros términos de la sucesión formada por los cuadrados de los números naturales a partir del 1. 

4.- Calcula los 4 primeros términos de la sucesión de término general: 

5.- Escribe los 5 primeros términos de una sucesión cuya regla de formación es: “Cada término es la suma de los dos anteriores, sabiendo que:"

6.- Escribe el término general de estas sucesiones:

a) 2, 3, 4, 5, 6, ......                        b) 2, 4, 8, 16, 32, ........

Solución a la práctica.

CONCEPTO DE SUCESIÓN.

Una sucesión es un conjunto ordenado de números u objetos, llamados términos. Cada término de la sucesión se representa con una letra minúscula con subíndice.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. 

En una sucesión, el término que ocupa una posición cualquiera, n, se llama término general y se escribe an. El término general es an es una expresión matemática que nos permite determinar cualquier término de la sucesión. 

EJEMPLO 1: Sucesión numérica

EJEMPLO 2: Sucesiones de objetos.

PROGRESIONES. SUCESIONES

ÍNDICE

1.- CONCEPTO DE SUCESIÓN. ELEMENTOS DE UNA SUCESIÓN.

2.-  FORMAS DE DEFINIR UNA SUCESIÓN.

3.- TIPOS DE SUCESIONES RECURRENTES.

    - SUCESIONES ARITMÉTICAS

    - SUCESIONES GEOMÉTRICAS.

4.- OTRAS SUCESIONES ESPECIALES.

5.- ACTIVIDADES DEL TEMA

    ⏩ RELACIÓN 1: Actividades de progresiones resueltas.

    ⏩ RELACIÓN 2: Actividades de progresiones con solución.

    ⏩ RELACIÓN 3: Actividades progresiones sin solución.

    ⏩ RELACIÓN 4: Gran cantidad de actividades de progresiones con solución.

    ⏩ RELACIÓN 5: Actividades progresiones y mezcla de temas anteriores

ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR

Este tipo de ecuaciones son aquellas ecuaciones polinómicas que tienen grado mayor que 2. Para resolverlas usaremos una técnica similar a la resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas cuando falta el término "c", que descomponíamos la ecuación en otras dos más sencillas de grado 1, dando lugar a resolver 2 ecuaciones de primer grado en lugar de una de 2ª grado.

En las ecuaciones de grado superior haremos lo mismo, la descompondremos en ecuaciones sencillas de grado 1 ó a lo sumo de grado 2. Para ello, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1: Trasponer todos los términos de la ecuación a un mismo miembro, quedando en el otro miembro 0.

Paso 2: Agrupar todos los términos de este miembro obteniendo un polinomio ordenado de grado mayor a menor. En el otro miembro debe quedar cero.

Paso 3: Factorizamos el polinomio resultante en sus factores irreducibles.

Paso 4: Igualamos cada uno de esos factores a cero, obteniendo ecuaciones más simples.

Paso 5: Resolvemos dichas ecuaciones, donde cada una de las soluciones son solución de la ecuación principal.

Ejemplos:

Ejemplos en vídeos:

ECUACIONES BICUADRADAS

Las ecuaciones bicuadradas son aquellas que, tras un cambio de variable sencillo, se convierten en ecuaciones de 2º grado.

Recordemos que las ecuaciones de 2º grado tienen la forma siguiente:

Pues las ecuaciones bicuadradas tienen una forma similar a las ecuaciones anteriores. Están compuestas de un polinomio igualado a cero, donde en dicho polinomio aparecen 3 términos: uno de ellos el término independiente "c", otro de ellos el coeficiente líder "a", que acompañará a la máxima potencia de dicho polinomio que a su vez será de doble grado que la potencia intermedia acompañada por un coeficiente "b". Tendrán la siguiente forma:

En estos casos se procederá a un cambio de variable, cambiando las letras por otras, de manera que buscaremos una nueva variable que sustituirá a x, de manera que esta será igual a la parte literal del término intermedio. De esta manera siempre resultará una ecuación de grado 2 tras el cambio.

Como podemos apreciar en todos los casos anteriores, la ecuación inicial ha pasado a tener forma de ecuación de 2º grado, que ya sabemos resolver aplicando la fórmula. Pero debemos tener en cuenta que al resolver estas nuevas ecuaciones, encontraremos los valores de "y", y luego tendremos que deshacer el cambio para encontrar los de "x".

Ejemplos:

Ejemplos en vídeos: