CONCEPTO DE FUNCIÓN

Hemos oído hablar mucho de funciones, pero ¿sabemos bien qué son las funciones?.¿y para qué se utilizan?. De esto trataremos este tema y el siguiente. 

Veamos algunos ejemplos gráficos de interés:

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:

EJEMPLO 4:

EJEMPLO 5:

EJEMPLO 6:

Definición: Una función f, es una relación entre 2 variables a las que, en general, llamamos x e y. 

Es una correspondencia entre elementos de un conjunto inicial de números reales , con elementos de un conjunto final, de números reales (R), de forma que a cada elemento “x”, perteneciente al conjunto inicial, le corresponde un único valor “y”, perteneciente al conjunto final. Al elemento "y" se le llama imagen de "x". Veamos gráficamente la definición:

ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN:

El Dominio de una función es el conjunto formado por todos los números reales pertenecientes al conjunto inicial y la Imagen de f es el subconjunto de números reales que pertenecen al conjunto final en la correspondencia.

El dominio de una función se representan por Df o Dom f, y la imagen como Im f.

EJEMPLO 7: Vamos a determinar los elementos anteriores en algunos de los gráficos de los ejemplos anteriores

1.- Si observamos el ejemplo 2, tenemos los siguientes datos sobre la caída del PIB (Producto interior bruto):

    - Variable independiente x: Años

    - Variable dependiente y: Porcentaje del valor del PIB

    - Dominio de f: [1996    2020]  Los años comprendidos desde 1996 a 2020.

    - Imagen de f: [-12   5]  Abarca desde -12% a 5%

2.- Si observamos el ejemplo 6, tenemos los siguientes datos sobre el número de contagiados por coronavirus durante la tercera ola de la pandemia:

    - Variable independiente x: Días 

    - Variable dependiente y: número de contagiados por día

    - Dominio de f: [4 de enero    25 febrero]  Los días comprendidos entre el 4 de enero y el 25 de febrero de 2021.

    - Imagen de f: [200   925]  el número de contagiados varía entre 200 y 925.

EJEMPLO 8:

En este caso tenemos los siguientes elementos:

- En el eje horizontal tenemos la variable independiente, que es el "tiempo" en minutos, t. (x = t)

- En el eje vertical tenemos la variable independiente, que es la "altura" expresada en metros, a. 

  (y = f(x) = a )

- Dominio: Solo tenemos información del vuelo del helicóptero desde el minuto 0 al 27. Así pues, el intervalo 0-27 sería el dominio de la función. Df = [0 27]

- Imagen o recorrido: la altura a la que se encuentra el helicóptero oscila entre 0 m y 320 m, por lo que Im f = [0  320]

Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos, o simplemente, para expresar relaciones matemáticas:

- La distancia recorrida por un móvil al pasar el tiempo.

- La temperatura del aire al variar la altura.

- El área de un cuadrado al variar su longitud de su lado.

No todas las correspondencias entre conjuntos son funciones. Veamos algunos ejemplos y observemos cuales de ellos son funciones y cuales no:

Los casos (a) y (b) no serían funciones dado que un mismo "x" tendría 2 imágenes "y". Existe al menos un valor del dominio al que se le asignan 2 valores diferentes. En el caso (c) no ocurre esto. A cada valor de x solo le corresponde un único y. Por lo que (c) es función.