TENDENCIA DE UNA FUNCIÓN: ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS

ASÍNTOTAS. CONCEPTO Y TIPOS.

Las tendencias de una función consiste en el estudio del comportamiento de la función, cuando la variable independiente (x) tiende a +∞ y -∞.

Las asíntotas son rectas imaginarias a las que la función se pega sin llegar a cortarlas (no las atraviesa). Estas pueden ser de varios tipos en el caso de que existan. Tipos:

-      Asíntotas verticales: Comportamiento de la función en los puntos de discontinuidad de salto infinito. Son rectas verticales imaginarias del tipo “ x = a” , donde “a” es un número real. Este número “a”, se corresponde a los valores que se descartan del dominio porque existe una discontinuidad de salto infinito. Puede ocurrir que solo exista asíntotas laterales: asíntota vertical lateral izquierda  “ x = a^-“o lateral derecha “ x = a⁺“. 

Para ello, se estudia el límite de la función es este punto “a”, y este debe ser infinito.

Si lo es por ambos lados, se dice simplemente que “x = a” es asíntota vertical.

-      Asíntotas horizontales: Comportamiento de la función cuando “x” tiende a infinito. Son rectas horizontales imaginarias del tipo “ y = a” , donde “a” es un número real. Puede ocurrir que solo exista asíntotas laterales: asíntota horizontal lateral izquierda  “ y = a^-“o lateral derecha “ y = a⁺“. 

Para ello, se estudia el límite de la función cuando “x” tiende a infinito y este límite debe ser finito y valer un número “a”.

Si lo es por ambos lados, se dice simplemente que “y = a” es asíntota horizontal.

-      Asíntotas oblicuas: Comportamiento de la función cuando “x” tiende a infinito. Son rectas oblicuas imaginarias del tipo “ y = mx+n” , donde “m”  y “n” son números reales, calculables mediante la resolución de unos límites que deben ser finitos cuando “x” tiende a infinito.

Puede ocurrir que solo exista asíntotas laterales: asíntota oblicua lateral izquierda  o derecha, en función de cual es el finito, o ambos, o solo cuando x tiende a + infinito , o bien cuando x tiende a - infinito .

Importante!!!!!Si existen horizontales, no existen oblicuas, y viceversa.

EJEMPLOS: 

Ramas infinitas: Comportamiento de la función cuando “x” tiende a infinito cuando no existen asíntotas horizontales ni oblicuas. Se cumple que:

Otro aspecto a tener en cuenta en el caso de que la función presente asíntota horizontal u oblicua, es si esta asíntota pasa por debajo del gráfico de la función o por encima de dicho gráfico. Para resolverlo, se elegirá un valor de “x” próximo a infinito, por ejemplo un valor grande (x=100  ó x= 1000, si nos acercamos a  x tendiendo a infinito), y 

 un  valor pequeño (x= -100  ó x= -1000, si nos acercamos a x tendiendo a - infinito). 

Se calcularan las imágenes (valores) de estos “x” mediante dos modelos matemáticos, la propia función f(x), y mediante la recta (asíntota horizontal o la asíntota oblicua). Dependiendo de que valor sea el mayor, indicara que modelo matemático es el que queda por encima, si la función por encima de la asíntota, o viceversa.

Ejemplos:

Ejemplos:

Algunos videos de actividades resueltas:

1.- Asíntotas verticales y oblicuas.

2. Asíntotas verticales y horizontales:

3.- Ramas parabólicas: