MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN

MONOTONÍA: ESTUDIO DEL CRECIMENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

1. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EN UN INTERVALO

Estudiar la monotonía de una función consiste en ver en los puntos del dominio donde esta función crece o decrece. Veamos matemáticamente cuando una función crece o decrece en un punto y en un intervalo. 

Una función es creciente en un intervalo (a,b) si se cumple que es creciente en todos los puntos del intervalo, tal que para todo x1,x2 perteneciente al intervalo (a,b) tal que x1<x2f(x1)<f(x2) 

Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si se cumple que es creciente en todos los puntos del intervalo, tal que para todo x1,x2 perteneciente al intervalo (a,b) tal que x1<x2f(x1)>f(x2) 

La monotonía también puede estudiarse de forma gráfica y de forma analítica, pero si desconocemos el gráfico de la función necesitamos recurrir a la derivada de una función y sus aplicaciones.

 

2. EXTREMOS RELATIVOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

Un punto relativo a f(x) es un punto perteneciente a la función en donde dicha función ni crece ni decrece, puede ser de dos tipos:

 a) Máximo relativo: en un entorno próximo al punto por la izquierda la función crece y en un entorno por la derecha la función decrece:

f(x0)>f(x0-) y f(x0)>f(x0+)

Básicamente un máximo relativo es aquel punto donde se ha producido un cambio en el crecimiento de la función. La función ha pasado de ser creciente a decreciente en ese punto. 

b) Mínimo relativo: en un entorno próximo al punto por la izquierda la función decrece y en un entorno por la derecha la función crece:

f(x0)<f(x0-) y f(x0)<f(x0+) 

Básicamente un mínimo relativo es aquel punto donde se ha producido un cambio en el crecimiento de la función. La función ha pasado de ser decreciente a creciente en ese punto. 

El crecimiento y decrecimiento son los intervalos de x donde la función crece y decrece. Los puntos relativos son los máximos y mínimos y son puntos con dos coordenadas (x,y). Por lo que para distinguir a los puntos de los intervalos, les pondremos un nombre. Así pues, los puntos se denotarán, preferiblemente, por letras mayúsculas del abecedario, iniciando por las primeras: A(x, y) , B(x, y), C(x, y)...... En algunos casos, se usan letras en minúsculas para representar a los mínimos relativos.

EJEMPLO: 

ACTIVIDAD PROPUESTA: Estudia la monotonía y los puntos relativos de las siguientes funciones expresadas en forma de gráfica: 

Si no tenemos el gráfico de la función, debemos recurrir al método analítico para realizar el estudio de la monotonía de la función.

Como resumen:

Conclusión: Para estudiar la monotonía de una función de forma analítica, se analiza el signo de la derivada primera de f(x).  Pasos a seguir:

• Ver dónde se anula la primera derivada.
• Dominio de la función. (Tener en cuenta los puntos que no están en el dominio de f).
• Estudiar los cambios de signo que presenta la primera derivada de f, teniendo en cuenta las particiones de la recta real (incluir los puntos que anulan la primera derivada y los que no pertenecen al dominio de la función)
• En aquellas regiones donde la derivada de f se mantenga positiva, marcará q f es creciente.
• En aquellas regiones donde la derivada de f se mantenga negativa, marcará q f es decreciente.
• En aquellos puntos que haya habido cambio de signo en la primera derivada y que pertenezcan al dominio serán los posibles extremos relativos.

Importante!!!!! Los puntos que no pertenezcan al dominio de la función no pueden ser extremos relativos, pero han de considerarse para el estudio del cambio de signo de la derivada de f.

Ejemplos:

1. Estudio de la monotonía de una función gráficamente.

2. Estudio de los máximos y mínimos relativos de una función de forma gráfica.

3. Función racional. Crecimiento y decrecimiento. (forma analítica)

4. Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión. (forma analítica)