PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. SUMA Y PRODUCTO DE TÉRMINOS

1. DEFINICIÓN 

Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión. 

La razón se obtiene al hacer el cociente entre dos términos consecutivos:

EJEMPLO:

EJEMPLO:  Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ... 

    6/3=2;  12/6 = 2; 24/12 = 2; 48/24 = 2 , por lo que la razón en este caso es: r= 2. 

2.- TÉRMINO GENERAL EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

En una progresión geométrica cada término es igual al anterior por la razón. Observa:

a2 = a1·r ;        a3 = a2·r = a1·r2;       a4=a3·r=a1·r2 =a1·r3 

y siguiendo así sucesivamente, se llega a:

El término general de una progresión geométrica

cuyo primer término es a1 y la razón es r es:

 an =a1·rn−1

EJEMPLO: 

EJEMPLO: Determinar el término general en la sucesión 3, 6, 12, 24, 48, ...

an =3·2n-1 =3·2n ·2-1 =(3/2)·2n 

3.- SUMA DE N TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:

EJEMPLO: Para la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32, determinar la suma de los 6 primeros términos:

EJEMPLO: Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 3, 6, 12, 24, 48, ...

4.- SUMA DE TODOS LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

En las progresiones geométricas podemos dar la suma de todos los términos de la sucesión La suma dependerá del valor de la razón de la sucesión:

- Si r está comprendida entre los valores (- 1   1), es decir, es mayor de -1, y menor que 1, la suma de todos los términos es:

- En caso contrario, la suma es infinita, bien positiva o negativa, según sea el caso.

EJEMPLO: Determina la suma de todos los términos de la sucesión: 16, 8, 4, 2, 1....

EJEMPLO: Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

👉

5.- PRODUCTO DE N TÉRMINOS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

En una progresión geométrica el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de ellos: 

a1·an = a2·an-1= a3·an-2 = ...

A partir de esta propiedad se obtiene que el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

EJEMPLO: Calcular el producto de los primeros 6 términos de la progresión : 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

EJEMPLO: Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...