FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. POLINOMIOS IRREDUCIBLES.

Un polinomio es irreducible cuando ya no puede descomponerse como producto de otros polinomios. Es decir, no tiene divisores. Sería un concepto análogo a cuando hablamos de números primos y números compuestos. Recordemos que los números primos son aquellos que no pueden descomponerse como producto de otro números. Salvo de ellos mismo por la unidad, mientras que los números compuestos eran aquellos que podían descomponerse en factores, que se expresaban como producto de potencias de números primos. Un polinomio irreducible sería el análogo a un nº primo en el campo de los números.

Por ejemplo, 7 es un número primo y solo puede expresarse como producto de 7 por 1, mientras que 30 sería un número compuesto, puede expresarse como producto de los números 2, por 3 y por 5, todos ellos primos.

En este apartado vamos a realizar un procedimiento para descomponer un polinomio en sus factores irreducibles ("factores primos").

Factorizar un polinomio consiste en descomponer un polinomio en factores irreducibles, es decir, expresarlo como productos de polinomios que sean irreducibles. Producto de todos sus divisores.

Para conseguir el objetivo vamos a realizar un proceso que se compone de 3 pasos:

PASO 1: SACAR FACTOR COMÚN

Averiguar si el polinomio que queremos factorizar puede expresarse como factores de otros polinomios a través de la extracción de algún factor común. A veces basta con este paso para obtener la factorización de un polinomio en sus factores irreducibles.

Ejemplo 1:

 

P(x) queda descompuesto como producto de 2 polinomios irreducibles tras haber extraído el factor común, que a su vez, ya es un polinomio irreducible. En este caso ya hemos finalizado la factorización de P(x).

Ejemplo 2:

En este caso hemos descompuesto P(x) como producto de 2 factores, donde uno de ellos es irreducible pero el otro que es de grado 2, no tenemos aún la seguridad de que sea irreducible. Por lo que habría que seguir descomponiéndolo. En este caso aún no hemos finalizado la factorización de P(x).

En ocasiones el paso 1 no es suficiente para acabar de factorizar, por lo que debemos seguir mediante otros métodos. Lo veremos en los pasos siguientes.

Ejemplo 3:

En este caso aún no hemos finalizado la factorización de P(x). Hemos de comprobar si el segundo factor es irreducible o no. Veremos en el paso 3 como resolverlo.

PASO 2: EXPRESAR EL POLINOMIO COMO IDENTIDADES NOTABLES

Muchos polinomios pueden expresarme como identidades notables, ya que son potencias de otros polinomios definidas como el cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o del producto de la suma por diferencia de un binomio determinado. Por lo que aquellos que pueden tener esta forma, basta con hacer uso de su fórmula para descomponerlos en factores primos. 

Ejemplo 4: En todos estos casos basta con el paso 2 para obtener el polinomio descompuesto en sus factores irreducibles.

Ejemplo 5:

En el ejemplo 2 vimos que el polinomio P(x) no estaba descompuesto en factores irreducibles totalmente dado que uno de sus factores aún no lo era tras el paso 1. Por lo que hay que habría que continuar con el paso 2 en aquellos factores que aún no fuesen irreducibles. De este modo quedaría lo siguiente: 

PASO 3: BÚSQUEDA DE FACTORES IRREDUCIBLES DIVISORES DE UN POLINOMIO A TRAVÉS DE LA DIVISIÓN. USANDO PARA DIVIDIR MÉTODO DE RUFFINI.

La mayoría de polinomios no pueden descomponerse mediante los pasos anteriores, por lo que debemos proceder a buscar sus divisores mediante el método de la división de la misma manera que lo hacemos con los números. Aunque aquí no tenemos criterios de divisibilidad como ocurre con los números, sino que tenemos que tantear probando divisores que tengan la forma x+a ó x-a. Donde "a" es un nº real que nos ayudará a encontrar dichos divisores. 

Dado que buscamos descomponer un polinomio en factores que tengan la forma anterior, (x+a) ó (x-a), usaremos el método de división por Ruffini para facilitar el proceso. Para ello probaremos aquellos divisores cuyo nº "a" sea divisor del término independiente del polinomio que queremos factorizar.

Los posibles divisores de un polinomio P(x) son de la forma (x+a) ó (x-a), donde "a" es divisor del término independiente de P(x).

Veamos con varios ejemplos lo que estamos diciendo.

Ejemplo 6:

Vamos a buscar los posibles divisores del polinomio P(x). Para ello probaremos con los divisores de su término independiente, que es 6. Así que vamos a probar con los números: -1, +1, -2, +2, -3, +3, -6, +6.

Estos serán con los números que probaremos en el método de Ruffini. Aquellos que hagan que la división sea exacta (resto 0), serán los que marquen que son divisores del polinomio, por lo que dará lugar que si -1 indica resto cero, uno de sus factores será (x+1). El proceso acaba cuando se han probado con todas las posibilidades y no sirve ya ninguna más, o hemos llegado a que el polinomio resultante tras las divisiones sea un número.

Observa el siguiente vídeo donde se muestra todo el proceso.

Ejemplo 7:

Ejemplo 8:

Ejemplo 9:

PASO 4: BUSCAR FACTORES MEDIANTE LA RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Existen casos de polinomios que son reducibles pero que no encontramos sus divisores por el método anterior visto en el paso 3, dado que no siempre los divisores de la forma (x+a) ó (x-a), tienen como "a " un número entero. Cuando "a" es racional o irracional, es imposible detectarlo por ese método, ya que no los encontramos como divisores del término independiente del polinomio. Así pues, no nos queda otra que buscar una nueva forma de proceder. 

Esto ocurre normalmente cuando tenemos polinomios de grado 2. Por lo que realizaremos la búsqueda de sus divisores a través de resolver una ecuación de grado 2. Igualando a cero este polinomio resultante de grado 2.

Véase el siguiente vídeo en el que se ilustra un ejemplo de este proceso.

Ejemplo 10: 

En el vídeo aparece un mínimo error en cuanto a la factorización exacta, dado que tenemos que tener en cuenta el coeficiente líder del polinomio. Este es otro factor más. Por lo que finalmente el polinomio quedaría factorizado como: 

En el siguiente ejemplo se explica con más detalle. Presta atención.

Ejemplo 11: